Главная › Новости

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ

Опубликовано: 27.08.2018

Статистика. Урок 4. Вариационные ряды

Всякая наука стремится свести к минимуму число принципов или законов, лежащих в ее основе. Значение вариационных принципов заключается в том, что каждый из них заменяет несколько частных законов. Например, принцип Ферма эквивалентен законам отражения и преломления света. Принцип наименьшего действия — законам механики.

Открытие вариационных принципов имеет многовековую историю. Герон Александрийский (I в.) — древнегреческий ученый, популяризатор науки, изобретатель различных механизмов (гидравлических машин, пожарного насоса, автомата для продажи «священной» воды, паровой турбины и т. д.) сформулировал следующий оптический постулат: «Скажу, что из всех лучей, падающих из данной точки и отражающихся в данную точку, минимальны те, которые от плоских и сферических зеркал отражаются под равными углами». Для плоского зеркала справедливость этого утверждения Герон доказал с помощью простого геометрического построения. Пусть (рис. 1) А — источник света, В — глаз, CD — зеркало, AFB — действительный путь света, АКВ — какой-либо другой возможный путь света, испытавшего отражение. Продолжим BF до встречи в L с продолжением AM. Так как угол падения AFG равен углу отражения GFB, то AM = ML и, следовательно, AF = LF. Тогда AF + FB = BF + FL < ВК + KL = АК + КВ, т. е. AFB — кратчайший путь.

Для сферических зеркал постулат Герон а не всегда верен. На рис. 2а изображен случай, когда путь света минимален, а на рис. 2б — максимален.

В XVII в. знаменитый французский математик П. Ферма сформулировал принцип, представляющий обобщение утверждения Герона: свет всегда идет по пути, требующему для своего прохождения минимального времени. Принцип Ферма для случая отражения света, очевидно, эквивалентен постулату Герона. Однако для случая преломления света на границе двух сред принцип Ферма сохраняет свою справедливость, тогда как постулат Герона становится неприменимым.

П. Ферма считал скорость света меньшей в более плотной среде, чем в менее плотной. Французский ученый Р. Декарт исходил из противоположного соотношения скоростей и вывел закон преломления, рассматривая свет как поток частиц, подчиняющихся законам механики. Между Ферма и Декартом шла острая дискуссия. Правота П. Ферма в научном споре с Р. Декартом была доказана лишь в XIX в., после проведения их соотечественником Л. Фуко опытов по прямому измерению скорости света в различных средах. Эти опыты подтвердили волновую природу света.

На первый взгляд получение действительных изображений в оптике противоречит принципу Ферма. Между точкой А и ее изображением А1 сквозь линзу проходит бесконечное число лучей различной формы и длины (рис. 3). Однако время прохождения светом всех лучей одно и то же. В стекле линзы свет идет медленнее, чем в воздухе, поэтому, хотя крайние лучи имеют большую длину, чем центральные, время их прохождения выравнивается. Из требования равенства времен прохождения крайних и центральных лучей можно непосредственно получить формулу линзы, не используя закон преломления света.

Вариационные принципы механики ведут начало своей истории с конца XVII в., когда швейцарский ученый И. Бернулли опубликовал работу «Новая задача, к разрешению которой приглашаются математики». Это была задача о брахистохроне, или кривой наискорейшего ската: даны две точки в вертикальной плоскости; найти вид кривой линии, спускаясь по которой тяжелое тело прошло бы путь между этими точками за наименьшее время. И. Бернулли в своем решении исходил из аналогии между распространением луча света в среде с непрерывно изменяющимся по высоте показателем преломления и движением тела под действием силы тяжести. Луч имеет в такой среде криволинейную форму, аналогичную траектории движения тела. Работа И. Бернулли послужила началом весьма плодотворных исследований аналогии между оптикой и механикой, приведших позднее к результатам, положенным в основу современной физики.

Следующий шаг по пути развития вариационных принципов механики сделал в первой половине XVIII в. французский ученый П. Мопертюи. Подобно Декарту, он рассматривал свет как поток частиц, подчиняющихся законам механики, и выдвинул вариационный принцип механики — принцип наименьшего действия. Согласно этому принципу, «путь, которого он (свет) придерживается, является путем, для которого количество действия будет наименьшим». Под действием Мопертюи понимал произведение скорости на длину пути. Из принципа минимальности действия для частиц света он вывел закон отражения и закон преломления, получив при этом отношение скоростей света в средах, совпадающее с результатом Декарта и обратное тому, что было у Ферма.

Выдающиеся математики и механики Л. Эйлер, Ж. Лагранж и У. Гамильтон придали понятию действия содержание, используемое и сейчас. Произведение скорости на длину пути, введенное Мопертюи, можно преобразовать в произведение квадрата скорости на время, заменив путь произведением скорости на время. Если ввести еще постоянный множитель, равный массе тела, деленной на 2, то получим произведение кинетической энергии на время, что и стало определением действия при отсутствии сил. При наличии сил действие равно среднему значению разности между кинетической и потенциальной энергией, умноженному на время движения. Был создан специальный математический аппарат для решения задач, связанных с применением принципа Ферма, или принципа наименьшего действия. Этот аппарат получил название вариационного исчисления, а соответствующие принципы стали называть вариационными принципами.

В вариационном исчислении речь идет о величинах, зависящих от вида той или иной функции, а не от значений тех или иных переменных. Например, время прохождения света между двумя точками зависит от всей формы луча, определяемой видом функции, связывающей координаты. Вариационное исчисление дает способ нахождения вида функции, соответствующей минимальному или максимальному значению варьируемой величины. Для этого надо потребовать равенство нулю изменений значения варьируемой величины при бесконечно малых изменениях формы функции. Оказалось, что вариационные принципы можно ввести и в учение о теплоте, и в электродинамику.

Еще нидерландский ученый XVII в. X. Гюйгенс обратил внимание на то, что принцип Ферма является следствием волновых свойств света. Австрийский физик XX в. Э. Шрёдингер, один из создателей квантовой механики, рассмотрел распространение света в среде с плавно убывающим с высотой показателем преломления. В такой среде (например, в земной атмосфере) лучи приобретают криволинейную форму (рис. 4), удовлетворяющую принципу Ферма. Искривление лучей можно просто объяснить поворотом волновых поверхностей за счет большей скорости перемещения их верхних частей по сравнению с нижними. Световые лучи представляют собой нормали к волновым поверхностям и поворачиваются вместе с ними. Внешне это выглядит так, как будто луч «выбирает» путь, соответствующий точкам среды, где скорость света больше. Интересно отметить, что если световой луч в такой среде приобретает горизонтальное направление, то его дальнейшее искривление нельзя объяснить, пользуясь законом преломления. Это можно легко сделать, рассматривая распространение волновых поверхностей. Принцип Ферма при этом не нарушается.

Понятие действия приобрело в физике особое значение после введения в 1900 г. немецким физиком М. Планком, основателем квантовой физики, кванта действия, равного фундаментальной постоянной h. Наличие h в каком-либо физическом соотношении свидетельствует о том, что оно может быть выведено только из квантовых представлений. Сопоставление принципов Ферма и Мопертюи натолкнуло французского ученого Л. де Бройля в 1920-х гг. на идею о наличии у частиц вещества волновых свойств, что вскоре было подтверждено на опыте. Формула длины волны, выведенная де Бройлем, содержит h.

Э. Шрёдингер провел глубокий анализ вариационных принципов оптики и механики и ввел уравнение, носящее его имя.

Значение вариационных принципов заключается в том, что, зная действие и пользуясь этими принципами, можно вывести уравнения движения для любой системы.